హిందూ ధర్మం - 218 (శుల్బసూత్రాలు - 3)

బౌద్ధాయన శుల్బ సూత్రాలు చత్రురస్రం, దీర్ఘచతురస్రం వంటి రేఖాగణిత ఆకారాల నిర్మాణం గురించే కాక వాటి వైశాల్యం మారకుండా ఒక ఆకారం నుంచి వేరొక ఆకారనికి మార్చే పద్ధతులను కూడా వివరిస్తున్నాయి. ఇందులో చత్రురస్రాన్ని ధీరచత్రురస్రంగా, సమద్విబాహు సమలంబ చత్రుభుజంగా, సమద్విబాహు త్రిభుజంగా, సమాంతర చతుర్భుజం, వృత్తంగా, వృతాన్ని చతురస్రంగా మార్చే ఎన్నో స్పష్టమైన సూత్రాలు ఉన్నాయి.

భౌద్ధాయన సూత్రం 2.10 - వృత్తాన్ని చతురస్రంగా మార్చాలనుకుంటే, దాని వ్యాసాన్ని 8 భాగాలుగా విభజించాలి. అందులో ఒక్కో భాగాన్ని 29 భాగాలుగా, మళ్ళీ దాన్ని 28 భాగాలుగా, తర్వాత 6 గా విభజించి, దాన్నుంచి 8 బ భాగాన్ని తగించాలి.
(2.10. To transform a circle into a square, the diameter is divided into eight parts; one [such] part after being divided into twenty-nine parts is reduced by twenty-eight of them and further by the sixth [of the part left] less the eighth [of the sixth part].)

భౌద్ధాయన సూత్రం - 2.11 - లేదంటే వ్యాసాన్ని 15 భాగాలుగా విభజించి, దాన్ని రెండుకు కుదించాలి. అప్పుడు అది చతురస్రం యొక్క ఒక వైపుకు సమానంగా ఉంటుంది.
2.11. Alternatively, divide [the diameter] into fifteen parts and reduce it by two of them; this gives the approximate side of the square [desired].

యజ్ఞవేది నిర్మాణం 2 వర్గాన్ని కనుక్కోవటానికి ఉపయోగపడింది. ఇటువంటి సూత్రాలు 3 ఉన్నాయి.

భౌద్ధాయన సూత్రం 2.12 - కొలతను మూడవ వంతు పెంచి, ఇందులో నాల్గవ వంతును పెంచి, దాని నుంచి 3/4 వ వంతును కుదించాలి. అప్పుడు చతురస్రం యొక్క వికర్ణం వస్తుంది.
2.12. The measure is to be increased by its third and this [third] again by its own fourth less the thirty-fourth part [of that fourth]; this is [the value of] the diagonal of a square [whose side is the measure].

అది 2 వర్గానికి (Square root of 2) దారితీస్తుంది.

ఇలా ఎన్నో సూత్రాలు శుల్బ సూత్రాల్లో ఉన్నాయి.

గ్రీకులు ఎంతో గొప్పగా చెప్పుకునే పైధాగోరస్ విద్యాభ్యాసం గంగా తీరంలో జరిగిందని, అతని ద్వారానే బౌద్ధాయన సూత్రం, గణితం పశ్చిమ దేశాలకు వెళ్ళాయని అనేకమంది చరిత్రకారులు అభిప్రాయపడ్డారు. ఎందుకంటే పైధాగోరస్, అప్పటి వరకు గ్రీకులో లేని కొత్త విషయాలను నమ్మేవాడట. వాటిలో ప్రధానమైనవి ఆత్మ ఒక శరీరం నుంచి మరో శరీరంలోకి ప్రవేశించడం, ఉపనిషత్తుల్లో ఉండే విషయాలను ఆయన రచనల్లో ప్రస్తావించడం, బౌద్ధుల వలే చిక్కుడుకాయలు తినకపోవడం, మాంసాహారనికి దూరంగా ఉండమని చెప్పడం మొదలైనవి.

పైధాగోరస్ భారతీయ తాత్త్వికత చేత ప్రభావితమయ్యాడు. అతను చెప్పిన దాదాపు అన్ని సిద్ధాంతాలు, మతపరమైన, తాత్త్వికమైన, గణిత సిద్ధాంతాలన్నీ  క్రీ.పూ. 6 వ శత్బాదం నాటికే భారత్ లో చెప్పబడ్డాయి - ప్రొఫెస్సర్ ఆర్.జి. రాలిన్‌సన్

ప్రముఖ ఫ్రెంచి తత్త్వవేత్త, గొప్ప రచయిత, అసమానత, అన్యాయం మీద గొంతెత్తారు ఫ్రాంకొయిస్ ఎం.ఏ. వొల్టాయిర్ (1694-1774). అతనంటాడు మనం (ఐరోపా వాళ్ళం) దుష్టలక్షణాల్లో భారతీయులను ఎంతో దాటిపోయాము. జ్ఞానంలో వాళ్ళ ముందు అధములము. ఎక్కడికెళ్ళినా డబ్బు కోసమే వెతుకుతూ యూరోపియన్ దేశాలు ఒకదాన్ని మరొకటి పరస్పరం నాశనం చేసుకున్నాయి. ఒకప్పుడు గ్రీకు తాము నేర్చుకోవడానికి వెళ్ళిన భారతదేశానికి ఇప్పుడు మనం డబ్బు కోసం వెళుతున్నాము.

ఆధ్యాత్మికత, జ్యోతిష్యం మొదలైనవన్నీ గంగాతీరం నుంచి వచ్చాయని నేను గట్టిగా ఒప్పుకుంటాను. ముఖ్యంగా గుర్తించవలసిదేమిటంటే 2500 ఏళ్ళ క్రితం పైధాగోరస్ రేఖాగణితం నేర్చుకోవడానికి సమొస్ నుంచి గంగా తీరానికి వెళ్ళాడు .... అప్పటికే బ్రాహ్మణుల విజ్ఞానశాస్త్రం యూరోప్ లో స్థాపించబడి ఉండకపోతే, అతడు అటువంటి అసాధారణమైన యాత్ర చేపట్టి ఉండేవాడు కాదు.

ఈ విషయాలను ది ఇన్వేషన్ థట్ నెవర్ వాస్ అనే గ్రంధంలో మైకిల్ డానినో, సుజాత నాహర్ పొందుపరిచారు. 2500 ఏళ్ళ క్రితమే ఐరోపాలో భారతీయ జ్ఞాన సంపద విద్యాలయల ద్వారా బోధించబడేదని అతని ఉద్దేశం.

To be continued ......................

హిందూ ధర్మం - 217 (శుల్బసూత్రాలు - 2)

నిర్దేశిత కొలతలు, అకారాల్లో యజ్ఞగుండాల నిర్మాణాన్ని ప్రస్తావిస్తూనే రేఖాగణిత సూత్రాలు కొన్నిటిని ప్రకటితంగా, కొన్నిటిని ప్రకటితంగా అందులో పొందుపరిచారు.
The following geometrical theorems are explicitly or implicitly mentioned or clearly implied in the construction of the altars of the prescribed shapes and forms.

1. దీర్ఘచతురస్రం యొక్క కర్ణములు దీర్గ్ఘచతురస్రాన్ని నాలుగు భాగాలుగా విభజిస్తాయి, ఒకెలా ఉండేట్లు, రెండు నిలువుగా, రెండు ఎదురెదురుగా (బౌద్ధాయన సూత్రం 3 - 168, 169, 178)
The diagonals of a rectangle divide the rectangle in four parts, two and two (vertical and opposite) which are identical. (Ban (3 - 168, 169, 178)

2. సమాంతర చత్రుభుజం యొక్క కర్ణాలు లంబకోణం వద్ద ఒకదాన్ని ఒకటి ఖండించుకుంటాయి.
Diagonals of a rhombus bisect each other at right angles.

3. సమద్విబాహు త్రిభుజం శీర్షం నుంచి బేస్ మధ్య భాగం వరకు రేఖను గీసి, దాన్ని రెండుగా విభజించవచ్చు. బౌద్ధాయన సూత్రం 3 – 256)
An Isosceles triangle is divided into two identical halves by the line joining up the vertex to the middle point of base (Bau, 3-256).

4. ధీర్ఘచతురస్రం మధ్య పాయింట్ల నుంచి గీసిన రేఖలతో ఏర్పడిన చతుర్భుజం, ధీర్గచతురస్రంలో సగం వైశాల్యం కలిగిన సమాంతర చత్రుభుజం అవుతుంది.
A Quadrilateral formed by the lines joining the middle points of a rectangle is a rhombus whose area is half of that of the rectangle.

5.  ఒకే బేస్, మరియు సమాంతరాల్లో ఉన్న సమద్విబాహు చతుర్భుజం మరియు ధీర్ఘచతురస్రం ఒకే వైశాల్యం కలిగి ఉంటాయి.
A Parallelogram and a rectangle on the same base and within the same parallels have the same area.

------------------------

సా.శ.2000 పూర్వం కంటే ముందుదైన బౌద్ధాయన సూత్రాన్నే నేడు పైధాగరస్ సూత్రం అంటున్నారు. ఇది ప్రపంచం అంగీకరించిన సత్యం.
Baudhayana Theorem (earlier to 2000 B.C.E)(called as Pythagoras theorem).


ధీర్ఘచతురస్రం యొక్క వికర్ణం వలన ఏర్పడే రెండు వైశాల్యాలకు పొడవు, వెడల్పు వేర్వేరుగా ఏర్పడతాయి. ఈ సూత్రాన్ని పైధాగరస్ కు అంటగట్టారు చాలామంది. బౌద్ధాయన సూత్రం దీనికి వ్యతిరేకమైనవి కూడా చెప్తుంది.
The diagonal of a rectangle produces both areas which the length and breadth produce separately. This theorem is usually attributed to Pythagoras. The Baudhayana work even states its converse.

-------------------------

పై విలువ - వ్యాసానికి చుట్టుకొలత నిష్పత్తి  -
(Value of pi - ratio of circumference to diameter)

శుల్బసూత్రాల్లో పై విలువకు 8 అంచనాలను చెప్పారు. బౌద్ధాయన సూత్రం 1.61 ప్రకారం పై విలువ 3.088. మానవ శుల్బసూత్రాలు 1.27 ప్రకారం 4/ (1 1/8) ్ 2 = 3.16049
-------------------------------
2 వర్గము -
(Sqaure root of 2) -
బౌద్ధాయన సూత్రాల ప్రకారం 2 వర్గము = 1+ 1/3 + 1/(3*4) -1/(3*4*34)

To be continued .....................

శ్రీ అరోబిందో కపాలి శాస్త్రి సంస్థ వారు ప్రచురించిన Mathematics నుంచి సేకరణ.

హిందూ ధర్మం - 216 (శుల్బ సూత్రాలు)

ఒక పరిశోధనశాలలో ఒక ప్రయోగం చేసినప్పుడు రసాయనాలతో పాటు దానికి వాడే పాత్రలు కూడా ముఖ్యమే. అలాగే యజ్ఞంలో కూడా. యజ్ఞం సమస్త బ్రహ్మాండానికి సంకేతం అని చెప్పుకున్నాం. యజ్ఞంలో ఆహుతులిచ్చినప్పుడు అందులో రసాయన ప్రతిచర్యలు జరిగి, వాయువులు ఉత్పత్తి అవుతున్నాయి. ఆహుతు ఘనరూపాన్ని కోల్పోయి అణురూపంలో అంతరిక్షాన్ని చేరుతోంది. అటువంటి యజ్ఞం నిర్వహించాలంటే యజ్ఞగుండం కొలతలు ఎంత నిర్దిష్టం (perfect)గా ఉండాలి. అందుకోసం వచ్చినవే సుల్బ సూత్రాలు. ఇవి గణితశాస్త్రానికి సంబంధించినవి, ఇందులో రేఖాగణితము/జ్యామితి (Geometry), వర్గాలు (Square roots) ప్రధానంగా కనిపిస్తాయి. యాగశాల కూడా ఎలా పడితే అలా కట్టారు. యజ్ఞంలో ఉపయోగించే ఛందస్సును అనుసరించి, ఋతువును, యజమాని (యాగం చేసే వ్యక్తి) ఎత్తును, భుజాల కొలతను, యజ్ఞంలో అర్పించి ఆహుతుల సంఖ్యను పరిగణలోకి తీసుకున్న తర్వాత యజ్ఞకుండం యొక్క నిర్మాణం జరుగుతుంది. అందులో కూడా కొలతలు, ఎన్ని ఇటుకలు వాడాలి, అవి ఎంత పరిణామంలో ఉండాలి, కుండం నిర్మాణం వంకరగా కాక సరళ రేఖ మీద ఉందా అనేవి, ఇవన్నీ సరిగ్గా ఉన్నా, అది ఉండాల్సినంత పరిణామంలో ఖచ్ఛితంగా ఉందో లేదో చూస్తారు. యజ్ఞగుండం నిర్మాణానికి ప్రణాళిక పూర్తి చేసుకున్న తర్వాత, యాగశాల నిర్మాణనికి ప్రణాళికలు సిద్ధం చేసుకుంటారు. అప్పుడు కూడా ఇంతకముందు చెప్పుకున్నట్టుగానే ఆయా అంశాలను పరిగణలోకి తీసుకునే యాగశాల నిర్మాణం చేస్తారు. ఇక్కడ ఒక ఆసక్తికరమైన అంశం ఉంది. చాలా సందర్భాల్లో యాగశాల నిర్మాణంలో వేదపండితుడు చేతిలెక్కల మీదే ఆధారపడతారు. ఉదాహరణకు ఒక బారు పొడువని, 6 మూరల వెడల్పని, అలా.... అయితే ఈ అంశం మీద ఆసక్తి ఉన్న ఎందరో భారతీయులు, విదేశీయులు పరిశోధన చేసిన తర్వాత ఋజువైన విషయం ఏమిటంటే, వీరు నోటిలెక్కల మీద యాగశాల నిర్మాణాన్ని జరిపించినా, అవి దోషరహితం (Perfect) గా, రేఖాగణితం మొదలైన గణిత శాస్త్రంలోని అనేక విభాగలను పరిగణలోకి తీసుకున్న తర్వాత ఎంతో జాగ్రత్తగా ప్రణాళిక రచిస్తే, ఎంత పూర్ణం (perfect)గా ఉందో, అంతే పూర్ణం (perfect) గా అక్కడ కూడా ఉందట. ఇలా ఎందరో పండితులున్నారు. వారికి చిన్నప్పుడు గురుకులంలో నేర్పిచిన లెక్కలనే ఆధారంగా చేసుకుని ప్రణాళికలు ఇస్తారు. కానీ అందులో మామూలు మెదడు అందుకోలేని ఎంతో విజ్ఞానం దాగి ఉంది.

అయితే ఇవి కేవలం యజ్ఞం వరకే పరిమితం కాక, నిత్య జీవితంలో, నిర్మాణశాస్త్రంలో ఉపయోగపడే అంశాలు కూడా కలిగి ఉన్నాయి. ఇప్పటికీ శుభకార్యాల్లో చదివే అనేక మంత్రాల్లో ఇవి వినిపిస్తుంటాయి. మానవుడు నివాసం మొదలు అనేక విషయాల్లో జాగ్రత్తలు తీసుకున్నప్పుడే, అతడు సుఖసంతోషాలతో ఉండగలడు. వీటిలో నిర్మాణశాస్త్రం కీలకం. దాన్ని ఎల్లవేళలా గుర్తించుకోవాలని, మర్చిపోకుండా పదే పదే గుర్తు చేయడం కోసం వీటిని శుభకార్యాల్లో పఠించేలా ఋషులు నిర్ణాయించారు.

చిత్రంలో చూపబడిన హోమగుండం చూడండి. అది మొత్తం రెండుగా విభజింపబడింది. ఒకటి ప్రాచీనశాల, రెండవది మహావేది. ప్రాచీనశాల నిత్యకర్మలకు, మహావేది ప్రత్యేకమైన క్రతువులకు ఉద్దేశించబడ్డవి. ఇందులో ఎన్నో ఆకారాలున్నాయి. బౌద్ధాయనుడు 21 ఆకారాలను చెప్పాడు. వైదిక క్రతువుల వివరాలు, వాటి రూపకల్పనలు, దానికి అవసరమైన ప్రత్యేకమైన ఆకారం కలిగిన ఇటుకల గురించి బ్రాహ్మణాల్లో చెప్పగా, ఇంకా వివరంగా శుల్బసూత్రాల్లో వివరించారు. ఉదాహరణకు గార్హపత్యం, ఆవహనీయం, దక్షిణాగ్ని అని అగ్నిహోత్రాలు 3 రకాలు. ఆ 3 ఋగ్వేదంలో ప్రస్తావించబడ్డాయి. ఈ 3 అగ్నిహోత్రాల్లో ఒకటి చతురస్రం (Square), వృత్తం (Circle), అర్ధవృత్తం (Semicircle) ఆకారంలో ఉండాలని, కానీ మూడింటికి సమానమైన వైశాల్యం (area) ఉండాలని శతపధ బ్రాహ్మణం స్పష్టం చేసింది. నిర్ధిష్టమైన వైశాల్యం కలిగిన ఒక ఆకృతిని నిర్మించాలంటే, కనీసం 2 సంఖ్య వర్గాన్ని (Square root of 2) సుమారుగానైనా కనుక్కునే పద్ధతి ఉండాలి. చత్రురస్రానికి సమానమైన వైశాల్యం కలిగిన వృత్తాకారాన్ని నిర్మించాలన్నా పై (Pi - π ) విలువ, వృత్తం వ్యాసానికి (Diameter)  చుట్టుకొలత (circumference) నిష్పత్తి (ratio) సుమారుగానైనా తెలిసి ఉండాలి.  

ఇదే కాక శతపధబ్రాహ్మణం, శుల్బసూత్రాలు మొదలైన గ్రంధాలు అప్పటి వరకూ ఉన్న ఎన్నో గణిత పద్ధతులను క్రోడికరించడమే కాకుండా, నూతనంగా అభివృద్ధి చేసిన పద్ధతులను, వాటి ద్వారా గీయదగిన రేఖాగణిత ఆకృతులను, వాటి సిద్ధాంతాలను కూడా క్రోడికరించాయి. మీరు గమనిస్తే మహావేది సమలంబ చతుర్భుజం (Trapezium) ఆకృతిలో ఉంది. 2 వర్గము (Square root of 2) లేదా సమద్విబాహు సమలంబ చతుర్భుజం (Isosceles Trapezium) కనుక్కోవడానికి పైధాగరస్ ట్రిపుల్స్ (Pythagorean Triples: 3^2+4^2=5^2)యొక్క కనీస జ్ఞానం ఉండాలి. దీన్నిబట్టి భారతీయులకు వేదకాలంలోనే పైధాగరస్ సూత్రం ఇంకా సులభపద్ధతిలో తెలిసి ఉంటుందని ఈ విషయంలో పరిశోధన చేసిన సెడెన్‌బర్గ్ (1978), రాజారాం మరియు ఫ్రాలే (1995) నిర్ధారించారు.

శ్రీ అరోబిందో కపాలి శాస్త్రి సంస్థ వారు ప్రచురించిన Mathematics నుంచి సేకరణ.

To be continued .........